计算公式只是代入计算的时候用到的，我们还是要理解它们的本质。
我们先来回想一下前向变量和后向变量有什么关系，前面在解决HMM的第一个问题的时候，提出了一种结合前向变量和后向变量的方法，从那个方法中我们能够发现，前向变量和后向变量的设计是非常巧妙的，我们再看一下它们的表达式：
我们想一下前向变量αt(i)和后向变量βt(i)相乘是什么，前向变量的条件是模型µ，前向变量是已知模型µ，得到观察序列O1O2...Ot，且当前状态为si的概率，然后再乘以后向变量，后向变量的条件是模型µ和当前状态为si，这个当前状态为si正好与前向变量的结论契合的严丝合缝，然后我们继续看，后向变量的结论是O(t+1)O(t+2)...OT，当时提出后向变量的时候有没有想过这样一个问题，为什么是O(t+1)O(t+2)...OT，而不是OtO(t+1)...OT，从Ot而不是O(t+1)开始？为的就是与前向变量向契合，前向变量的结论是O1O2...Ot，再加上后向变量的结论O(t+1)O(t+2)...OT，正好是全部的观察序列O1O2...OT。
然后我们再看ξt(i,j)，它的定义是给定HMM的参数µ和观察序列O=O1O2...OT，在时间t位于状态si，时间t+1位于状态sj的概率。
ξt(i,j)与前向变量αt(i)和后向变量β(t+1)(j)的关系如下：
ξt(i,j)与前向变量和后向变量的关系 前面讲了αt(i)与β(t)(i)的关系，这里有些区别，不是β(t)(i)而是t+1时刻的β(t+1)(j)。根据ξt(i,j)的定义，我们需要观察序列O=O1O2...OT、在时间t位于状态si和时间t+1位于状态sj，依次补齐即可，αt(i)提供了O1O2...Ot和在时间t位于状态si，β(t+1)(j)提供了O(t+2)O(t+3)...OT和在时间t+1位于状态sj，还缺什么？还缺状态si到状态sj的转化和符号O(t+1)，这就很清楚了，乘以aij和bj(O(t+1))即可，我们再看一下上面的式子：
