首先我们定义一个前向变量αt(i)，αt(i)是给定模型µ下，在时间t，HMM输出了序列O1O2...Ot，并且当前状态为si的概率：
前向变量
前向算法的主要思想是，如果可以快速的计算前向变量αt(i)，那么就可以利用αt(i)计算出P(O|µ)，因为P(O|µ)其实就是所有状态qt下观察到序列O1O2...OT的概率：
因为αT(i)就是输出O1O2...OT，且状态为si的概率，其实我们要的只是输出O1O2...OT，si为哪个都可以，所以这里利用全概率公式的思想，我们把时刻T下出现任意状态且观察到O1O2...OT的概率相加，即得到了观察到O1O2...OT的概率。
我们还可以观察出前向变量αt(i)的递推公式，因为t+1时刻的前向变量α(t+1)(j)实际上就是t时刻之后，状态序列增加了一个sj，然后观察序列多输出了一个O(t+1)。所以我们先根据前面提过的全概率公式的思想计算出输出序列O1O2...Ot的概率，然后因为状态由所有可能的状态si变到了某一特定sj所以自然要乘一个对应的aij，然后我们就得到了t+1时刻下的状态序列，这个状态序列的最后一个状态是sj。然后为了得到输出序列O1O2...OtO(t+1)，只需要再多乘一个bj(O(t+1))，也即状态sj发射出符号O(t+1)的概率，因为前面已经是O1O2...Ot了。也即如下式：
