根据上述文法，『He met Jenny with flowers』有两种可能的语法结构：
而且我们可以通过将树中的所有概率相乘，得到两棵子树的整体概率，从中选择概率更大的子树作为最佳结构。
与HMM类似，PCFG也有三个基本问题：
- 给定一个句子W＝
w1w2…wn和文法G，如何快速计算概率P(W|G) - 给定一个句子W＝
w1w2…wn和文法G，如何选择该句子的最佳结构？即选择句法结构树t使其具有最大概率 - 给定PCFG G和句子W＝
w1w2…wn，如何调节G的概率参数，使句子的概率最大
首先是第一个问题，HMM中我们用的是前向算法和后向算法来计算观察序列O概率，相似的，这里我们用的是内向算法和外向算法来计算P(W|G) 。
首先我们定义内向变量αij(A)，与前向变量相似但又有不同，αij(A)即非终结符A推导出W中字串wiw(i+1)…wj的概率。那P(W|G)自然就等于α1n(S)了，S是起始符号，计算的就是由起始符号S推导出整个句子W=w1w2…wn的概率。
所以只要有αij(A)的递归公式就能计算出P(W|G)，递归公式如下：
根据定义，αii(A)自然就等同于符号A输出wi的概率；而αij(A)的计算思路是，这个子串wiw(i+1)…wj可以被切成两部分处理，前一部分wiw(i+1)…wk由非终结符号B生成，后一部分wkw(k+1)…wj由非终结符号C生成，而BC由A生成。这样将概率依次相乘，即可将一个大问题划分为两个小问题处理，两个小问题又可以进一步划分直到不能划分为止，然后递归回来得到结果。
这里给一张内向变量计算方法示意图：
这个问题也可以用外向算法来解决。
首先定义外向变量，βij(A)是，初始符号S在推导出语句W=w1w2…wn的过程中，产生符号串w1w2…w(i-1)Aw(j+1)…wn的概率（隐含着A会生成wiw(i+1)…wj）。也就是说βij(A)是S推导出除了以A节点为根节点的子树以外的其他部分的概率。
